PHP动态规划 题目及解题思路

1、最长公共子序列(字符串相关)

给出两个字符串,找到最长公共子序列(LCS),返回LCS的长度。例如:
例如:给出”ABCD”和”EDCA”,这个LCS是 “A”(或 D或C),返回1;
给出”ABCD” 和 “EACB”,这个LCS是”AC”返回2。

思路:长度为m的字符串a和长度为n的字符串b,他们的最长公共子序列longest[m][n]可通过m-1长度的a和n-1长度的b推得:当a[m]等于b[n]的时候,longest[m][n] = longest[m-1][n-1] + 1;当a[m]不等于b[n]时,longest[m][n]=max(longest[m-1][n], longest[m][n-1])。当字符串a或者b为空字符串时,它与另一个字符串的最长公共子序列必然是0。最后题目的解即为longest[strlen(a)][strlen(b)]。

2、编辑距离(字符串相关)

给出两个单词word1和word2,计算出将word1 转换为word2的最少操作次数。
你总共三种操作方法:插入一个字符、删除一个字符、替换一个字符。
例如:给出 work1=”mart” 和 work2=”karma”,返回 3。

思路:对于长度为m的字符串a和长度为n的字符串b(m、n都大于0),如果a[m]不等于b[n],那么a变为b的最小操作次数=min(a[m-1]变为b[n]的最小操作次数+1,a[m]变为b[n-1]的最小操作次数+1,a[m-1]变为b[n-1]的最小操作次数);如果a[m]等于b[n],那么a[m]变为b[n]的最小操作次数=a[m-1]变为b[n-1]的最小操作次数。

3、背包问题

给出n个物品的体积A[i]和其价值V[i],将他们装入一个大小为m的背包,最多能装入的总价值有多大?
例如:对于物品体积[2, 3, 5, 7]和对应的价值[1, 5, 2, 4], 假设背包大小为10的话,最大能够装入的价值为9。

思路:当空间为v时,对于任意一个物品i,如果i可以放入(v大于等于weight[i]),则此时v空间的价值f(v)等于f(v-weight[i]) + values[i],因此通过遍历全部物品可以找到在空间为v时所能得到的最大值。
代码:

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